Математика адамзат өркениетіне соншалықты терең сіңіп кеткендіктен, оның бар екенін ауа құрамын ойламай жұтқанымыздай байқамаймыз. Барлық математикалық пәндер арасында әлемнің іргетасына буквалды түрде де, ауспалы мағынада да тамыр жайған геометрия ерекше орын алады. Геометрия жерді өлшеу, оны учаскелерге бөлу және уақыт сынағына төтеп беретін ғимараттар тұрғызу қажеттілігінен туындап, бірнеше мыңжылдық ішінде адамзат жасаған ең әмбебап интеллектуалдық жүйелердің біріне айналды. Осы ғылымсыз заманауи құралдарсыз дәлдігімен таңғалдыратын Мысыр пирамидалары да, құрылымдық механика заңдылықтарына сүйене отырып, болат пен шынының жүздеген метрін теңестіретін биік ғимараттар да мүмкін болмас еді. Геометрия әрбір сәулеттік шешімде, смартфонның навигациялық алгоритмінде, спортшының кроссовкасында және ұшақ қанатының пішінінде өмір сүреді. Алдыңызда атауы «жер өлшеу» деп аударылғанымен, көкжиегі кез келген жер бетінен әлдеқайда алысқа созылатын ғылым туралы отыз дерек ұсынылған.
- «Геометрия» сөзі гректің «гео» яғни жер және «метрия» яғни өлшеу сөздерінен шыққан. Атауы пәннің практикалық шығу тегін дәл көрсетеді, ол жыл сайын Нил өзенінің тасуынан кейін барлық шекаралық белгілерді жуып кететін жер учаскелерін өлшеу және бөлу қажеттілігінен туындаған. Мысырдық жер өлшеушілер – «харпедонапттар», яғни буквалды түрде «арқан керушілер» – алқаптарды белгілеу кезінде тік бұрыштар мен дұрыс фигураларды қайта жасау үшін түйінді арқандарды пайдаланған.
- Алғашқы құжатталған геометриялық білімдер Біздің заманымызға дейінгі екінші мыңжылдықта Ежелгі Мысырда тіркелген. Біздің заманымызға дейінгі 1650 жыл шамасында жазылған Ринд папирусы үшбұрыштар мен трапециялардың аудандарын есептеу және «пи» санының жуық мәні туралы есептерді қамтиды. Мысырлық құрылысшылар бұл білімді соншалықты шебер қолданды, Үлкен пирамиданың қабырғаларын әлемнің тұстарына бағдарлаудағы қате бір бұрыштық минуттан аз болды.
- Пифагор және оның ізбасарлары геометрияны практикалық рецепттер жиынтығынан қатаң дедуктивті ғылымға айналдырды. Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасындағы қатынас туралы әйгілі теорема Вавилониялықтарға Пифагордан мың жыл бұрын белгілі болғанымен, дәлелдеуді, яғни қарапайым тұжырымдамалардан логикалық қорытынды шығаруды алғаш талап еткен гректер болды. «Практикада жұмыс істейді» дегеннен «қатаң дәлелденген» дегенге өту адамзат ойлау тарихындағы төңкеріс болды.
- Біздің заманымызға дейінгі 300 жыл шамасында Александрияда жұмыс істеген математик Евклид екі мың жыл бойы негізгі геометрия оқулығы болып қалған «Негіздер» еңбегін жазды. Бес бастапқы тұжырымдамадан, яғни дәлелдеусіз қабылданатын аксиомалардан жүздеген теоремалар логикалық түрде қорытылып шығарылған он үш кітаптан тұратын бұл мәтін аксиоматика принципі бойынша құрылған. «Негіздер» басылым саны бойынша тек Інжілден кейінгі орында, бұл оның адамзаттың интеллектуалдық тарихына тигізген ықпалын айқын дәлелдейді.
- Евклидтің бесінші постулаты – түзу сызықтан тыс нүкте арқылы оған жалғыз ғана параллель жүргізуге болатындығы туралы тұжырым – математиктерге қалған төртеуіне қарағанда аз айқын көрінді. Геометрлер екі мың жыл бойы оны басқа постураттардан шығаруға тырысты, ал ХІХ ғасырда Лобачевский, Бойяи және Риман бұл тұжырымнан бас тарту толығымен дұрыс, бірақ түбегейлі басқа геометрияларға әкелетінін көрсетті. Евклидтік емес геометриялардың ашылуы математика тарихындағы ең ұлы төңкерістердің бірі болды.
- Нүкте арқылы түзу сызықтан тыс шексіз көп параллель жүргізуге болатын Лобачевскийдің гиперболикалық геометриясы седло тәрізді теріс қисықтығы бар беттерде жүзеге асады. Дәл осы геометрия Эйнштейннің Жалпы салыстырмалылық теориясында кеңістік-уақыт матасын деформациялайтын массаларға жақын кеңістікті сипаттайды. Николай Лобачевский өз жүйесін 1830 жылы жасады, бұл физиктер оған нақты физикалық қолданыс тапқанға дейін жүз жылға жуық уақыт бұрын болды.
- Сфера оң қисықтығы бар бет болып табылады, ал ондағы геометрия жазық евклидтік геометриядан түбегейлі ерекшеленеді. Сферада сызылған үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрдайым жүз сексен градустан асады, бұл парадокс сияқты көрінгенімен, глобуста оңай тексеріледі. Навигацияның негізінде дәл сфералық геометрия жатыр, Жер шарындағы екі нүкте арасындағы ең қысқа жол жазық картадағы түзу сызық емес, үлкен шеңбер доғасы болып табылады.
- Шеңбер ұзындығының оның диаметріне қатынасы болып табылатын «пи» саны ең танымал математикалық тұрақтылардың бірі және геометриялық қолданыс шеңберінен әлдеқайда асып түсті. Архимед біздің заманымызға дейінгі ІІІ ғасырда іштей және сырттай сызылған көпбұрыштарды пайдаланып, «пи» санын үтірден кейінгі екі таңбаға дейінгі дәлдікпен есептеді. Заманауи компьютерлер бұл иррационал санды жүздеген триллион таңбаға дейін есептеді, бірақ оның цифрларында ешқандай қайталанатын заңдылық табылмады.
- Алтын қима – бүтіннің үлкен бөлікке қатынасы үлкен бөліктің кіші бөлікке қатынасына тең болатын пропорция – табиғатта, өнерде және сәулетте таңғажайып тұрақтылықпен кездеседі. Шамамен 1,618-ге тең және гректің «фи» әрпімен белгіленетін бұл пропорция сабақтағы жапырақтардың орналасуында, моллюскі қабықшаларының спиральдерінде және Парфенонның пропорцияларында кездеседі. Математикалық тұрғыдан «фи» Фибоначчи тізбегімен байланысты, онда әрбір келесі мүшені алдыңғысына бөлгенде «фи»-ге жақындайды.
- Кез келген масштабта ұлғайтқанда өзін-өзі ұқсайтын геометриялық объектілер – фракталдар – 1970 жылдары математик Бенуа Мандельброт тарапынан ресімделді, дегенмен табиғат оларды миллиардтаған жылдар бойы жасап келеді. Жағалау сызығы, бронхтардың тармақталуы, қар ұшқынының құрылымы және найзағай разряды фракталды геометрияға бағынады, әрбір фрагмент тұтас пішінді қайталайды. Мандельброттың ашылымы компьютерлік графиканы, табиғи объектілерді модельдеуді және хаостық жүйелерді сипаттауды төңкерді.
- Пифагор теоремасының үш жүзден астам белгілі дәлелдемесі бар, бұл барлық математикалық тұжырымдамалар арасындағы рекорд болып табылады. Оның бірі Джеймс Гарфилдке тиесілі, ол оны Америка Құрама Штаттарының жиырмасыншы президенті болар алдында 1876 жылы қорытып шығарды. Бір нәтижеге қатысты тәсілдердің мұндай әртүрлілігі теореманың математиканың әртүрлі салалары арасында орнататын байланыстардың тереңдігін көрсетеді.
- Гаусс-Бонне теоремасы беттің қисықтығын оның Эйлер сипаттамасы деп аталатын топологиялық сипаттамасымен байланыстырады. Қарапайым тілмен айтқанда, бұл теорема беттің кейбір геометриялық қасиеттері оның нақты метрикасымен емес, «жалпы пішінімен» анықталатынын тұжырымдайды. Дәл осы байланыс арқасында математиктер сфера бетіндегі құйындардың болуын дәлелдей алады, бұл нәтиже Жердегі және басқа планеталардағы жел үлгілерін сипаттауға қолданылады.
- Төрт түс теоремасы – геометрия мен топологияға қатысты ең танымал есептердің бірі – кез келген жазық картаны көршілес аймақтардың түсі сәйкес келмеуі үшін төрт түспен бояуға болатынын тұжырымдайды. Есеп 1852 жылы тұжырымдалып, жүз жылдан астам уақыт бойы шешілмей келді, ал 1976 жылы Аппель мен Хакен мыңдаған конфигурацияларды тексеру арқылы оны компьютер көмегімен дәлелдеді. Бұл дәлелдеу есептеу машинасының елеулі көмегімен алынған алғашқы маңызды математикалық нәтиже болды.
- Декарттық координаттар жүйесі – кез келген нүктенің орнын екі сан жұбымен сипаттауға мүмкіндік беретін горизонталь және вертикаль сызықтар торы – геометрия мен алгебраны біртұтас пәнге біріктірді. Рене Декарт бұл жүйені 1637 жылы жасады, сол кезден бастап әрбір геометриялық фигураны теңдеу арқылы жазуға, ал әрбір теңдеуді геометриялық объект ретінде визуализациялауға болады. Аналитикалық геометрия деп аталатын бұл бірігу дифференциалдық есептеуге және бүкіл заманауи математикалық физикаға жол ашты.
- Топология – үзіліссіз және желімдеусіз үздіксіз деформациялар кезінде сақталатын фигуралардың қасиеттерін зерттейтін геометрия бөлімі. Топология тұрғысынан алғанда кофе стақаны мен бублик бір объект болып табылады, екеуінде де дәл бір тесік бар. Пішінге деген бұл абстрактілі көзқарас физикада, биологияда және компьютерлік ғылымдарда өте нәтижелі болды, деректердің топологиялық талдауы бүгінде үлкен ақпарат массивтеріндегі жасырын құрылымдарды іздеу үшін қолданылады.
- Мёбиус жапырағы – бір рет бұралған қағаз жолағын желімдеу арқылы жасалған бет – бір жақты беттің ең қарапайым мысалы болып табылады. Мұндай жапырақ бойымен жүрген құмырсқа шетін кеспей-ақ оның екі «жағын» да айналып өтеді, себебі жағы тек біреу ғана. Бұл парадоксалды объект практикалық қолданыс тапты, Мёбиус пішінді конвейерлік таспалар беттің тек бір жағынан емес, бүкіл беті бойынша біркелкі тозады.
- Ара ұясының ұяшықтары жазықтықты ең аз жалпы периметрмен ұяшықтарға бөлу есебінің оптималды геометриялық шешімін көрсетеді. Дұрыс алтыбұрыш үшбұрыш пен квадратпен қатар ең аз материал шығынымен ең үлкен ауданды қамтамасыз ететін үш дұрыс мозаиканың бірі болып табылады. Математиктер алтыбұрышты ұяшық құрылымының оптималдылығын аралар бұл шешімді практикада қолданған ғасырлардан кейін ғана, 1999 жылы қатаң дәлелдеді.
- Барлық жақтары бірдей дұрыс көпбұрыштардан тұратын үш өлшемді денелер – дұрыс көпжақтар – тек бесеу ғана бар, мұны Евклид дәлелдеген. Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр және икосаэдр – «Платон денелері» – мыңдаған жылдар бойы философтар мен ғалымдарды таңғалдырған мінсіз симметрияға ие. Платон оларды әлем элементтерімен байланыстырды, Кеплер олар арқылы планеталардың орбиталарын сипаттауға тырысты, ал заманауи физика олардың құрылымдарын материалдардың кристалдық торларынан және вирустардың сәулетінен тапты.
- Архимед шардың көлемін және оның бетінің ауданын Ньютон мен Лейбниц екі мыңжылдықтан кейін әзірлеген интегралдық есептеудің прототипі болып табылатын «сарқылу» әдісін пайдаланып есептеді. Архимедтің өзі шар мен оны қоршаған цилиндр көлемдерінің қатынасы туралы теореманы өзінің ең ұлы ашылымы деп санап, оны өз қабіріне бейнелеуді сұрады. Біздің заманымызға дейінгі 75 жылы Сиракузыға келген Цицерон ғалымның қабірін дәл осы бейне арқылы тапқан.
- Геодезиялық күмбездер – сфералық бетті құрайтын үшбұрышты элементтерден тұратын конструкциялар – ХХ ғасырдың ортасында американдық инженер Ричард Бакминстер Фуллер тарапынан әзірленді. Мұндай күмбездер үшбұрыш жүктеме астында жақтарын бұзбай деформацияланбайтын қатты фигура болғандықтан, материалды минималды пайдалана отырып, ерекше беріктікке ие. Геодезиялық тор принципі көптеген заманауи спорт ареналарының, планетарийлердің және тіпті өзіндік геометриялық шабыттандырушысының құрметіне аталған фуллерен молекуласының негізінде жатыр.
- Көпжақтарға арналған Эйлер теоремасы кез келген дөңес дене үшін төбелер мен қырлар қосындысының айырмасы плюс жақтар саны әрдайым екіге тең екенін орнатады. В — Р + Г = 2 деп аталатын бұл қарапайым қатынас терең математикалық құрылымға, яғни беттің кез келген үздіксіз деформациялары кезінде өзгермейтін топологиялық инварианттылыққа терезе ашты. Леонард Эйлер оны 1752 жылы ашты, дегенмен бұл фактінің толық емес нұсқалары Декартқа одан бұрын белгілі болған.
- Проекциялық геометрия фигуралардың проекциялау кезінде, яғни әртүрлі нүктелерден қарағанда сақталатын қасиеттерін зерттейді. Көкжиекке қарай түйісетін теміржол рельстері – параллель түзу сызықтардың проекциялау кезінде «жоғалу нүктесінде» кездесетінінің классикалық мысалы болып табылады. Қайта өрлеу дәуірінің суретшілері перспектива заңдарын эмпирикалық түрде ашты, ал Жерар Дезарг ХVІІ ғасырда оларды қатаң математикалық теорияға айналдырды.
- Геометрия миллиардтаған адамдардың күнделікті өмірінің бөлігіне айналған GPS навигация технологиясының негізінде жатыр. Орналасу орнын анықтау трилатерацияға, яғни қашықтығы белгілі бірнеше серікке центрге ие сфералардың қиылысуын есептеуге негізделген. Бұл процедура Риман геометриясымен сипатталатын релятивистік эффектілерді ескере отырып, нақты уақыт режимінде үш өлшемді аналитикалық геометрияны тікелей қолдану болып табылады.
- Кристаллография – кристалдардың құрылымы туралы ғылым – симметрия геометриясына негізделген. Үш өлшемді кристалдық тордың барлық мүмкін симметрия түрлері ХІХ ғасырдың соңында математикалық түрде жіктелді, олардың саны дәл екі жүз отыз болып шықты. Топтар теориясы деп аталатын бұл симметрияларды есептеу материалдардың синтезделуіне дейін олардың физикалық қасиеттерін болжауға мүмкіндік береді, металдардың өткізгіштігінен бастап жартылай өткізгіштердің оптикалық сипаттамаларына дейін.
- Дифференциалды геометрия математикалық талдау әдістерін пайдалана отырып, қисық беттерді зерттейді және Жалпы салыстырмалылық теориясының тілі болып табылады. Эйнштейн гравитацияны күш ретінде емес, төрт өлшемді кеңістік-уақыттың қисықтығы ретінде сипаттады, бұл сипаттау үшін Риман геометриясының құралдарын қажет ететін математикалық объект. ХІХ ғасырда Гаусс, Риман және Кристоффельдің еңбектері болмаса, Эйнштейннің өз теориясын тұжырымдау үшін математикалық аппараты болмас еді.
- Қағаз бүктеу өнері – оригами – геометриямен күтпегендей терең байланыста болып, инженерияда қолданыс тапты. Математик Роберт Ланг қағаз парағынан берілген пропорциялармен кез келген фигураны, жәндіктен бастап адам фигурасына дейін бүктеуге мүмкіндік беретін TreeMaker алгоритмін әзірледі. Оригами принциптері бүгінде спутниктерге арналған жиналмалы күн панельдерін, имплантацияланатын медициналық стенттерді және компактілі упаковталған конструкцияларды жобалауда қолданылады.
- Квазикристалдар – кристаллографияда ұзақ уақыт бойы мүмкін емес деп саналған бесінші ретті симметриясы бар құрылымдар – 1982 жылы Даниэль Шехтман тарапынан ашылды. Мұндай құрылымдардың математикалық негізі 1974 жылы Роджер Пенроуз тарапынан оның әйгілі мозаикалары арқылы сипатталған, бұл екі түрлі ромбтан тұратын периодты емес жазықтық бөліністері болып табылады. Шехтман 2011 жылы химия бойынша Нобель сыйлығын алды, бастапқыда ғылыми қауымдастық тарапынан қабылданбаған ашылымнан кейін отыз жылға жуық уақыт өтті.
- Минковский геометриясы – төрт өлшемді кеңістік-уақыттың сипаттамасы – үш кеңістіктік өлшемді уақыттық өлшеммен біртұтас математикалық құрылымға біріктіреді. Бұл геометрияда оқиғалар арасындағы «қашықтық» ерекше тәсілмен, уақыт компонентін қосу арқылы емес, азайту арқылы есептеледі. Дәл осы ерекше метрика ережесі Арнайы салыстырмалылық теориясының барлық интуицияға қайшы салдарларына – уақыттың баяулауына, ұзындықтардың қысқаруына және бірмезгілділіктің салыстырмалылығына жауап береді.
- Компьютерлік графика және үш өлшемді модельдеу толығымен геометриялық түрлендірулерге – бұрылуларға, орын ауыстыруларға, масштабтауларға және проекцияларға негізделген. Заманауи анимациялық фильмнің әрбір кадры арнайы процессорлар орындайтын миллиардтаған геометриялық есептеулерді талап етеді. Рендеринг, сәулелерді трассировкалау және текстураларды накладтау алгоритмдері бағдарламалық код тіліне аударылған проекциялық және дифференциалды геометрияның қолданбалы бөлімдері болып табылады.
- Геометрия табиғатта ДНҚ-ның нанометрлік құрылымынан бастап галактикалардың пішініне дейін барлық масштабтарда кездеседі. Дезоксирибонуклеин қышқылының қос спиралі, Исландиядағы базальт бағаналарының дұрыс алтыбұрыштары, наутилус қабықшасының логарифмдік спиралі және планеталардың эллипстік орбиталары – мұның бәрі физикалық және химиялық заңдардан туындайтын геометриялық заңдылықтар. Барлық Әлем геометриялық формалар тілінде сөйлейтінін түсіну антикалық дәуірдің басты интеллектуалды ашылымы болды және бүгінгі күнге дейін ғылым үшін шабыт көзі болып қала береді.
Геометрия мысырдық жер өлшеушінің қолындағы түйінді арқаннан кеңістік-уақыттың қисықтығын сипаттайтын тілге дейінгі жолды басып өтті, бұл жол шамамен бес мың жылдық үздіксіз интеллектуалды күш-жігерді қажет етті. Ешбір басқа математикалық пән абстрактілі сұлулық пен практикалық қажеттіліктің мұндай органикалық бірлігін көрсетпейді, таза білім үшін дәлелденген теоремалар физика, техника және информатиканың таптырмас құралдарына айнала береді. Геометрияның шынайы әлемді мұндай дәлдікпен сипаттау қабілеті ғылымның ең ұлы жұмбақтарының бірі болып қала береді, Эйнштейн мұны «математиканың түсініксіз тиімділігі» деп атаған. Геометрияны зерттеу тек есептеу дағдыларын ғана емес, кеңістіктік, құрылымдық, дәлелдеуші ойлаудың ерекше түрін дамытады. Әлем туралы ойлаудың бұл тәсілі бізге грек математиктері тарапынан сыйланған және адамзат қолындағы ең құнды интеллектуалды құралдардың бірі болып қала береді.
